Функция распределения

Функция распределения (Cumulative Distribution Function, CDF) — это математическая функция, описывающая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное заданному числу. Иными словами, CDF показывает, как накапливается вероятность по мере увеличения значения случайной величины.

🧠 Формальное определение:

Для случайной величины $X$ функция распределения $F(x)$ определяется как:

где $P(X\le x)$ — вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, не превышающее $x$.

🔑 Свойства:

• $F(x)$ всегда принимает значения от 0 до 1.
• ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$.
• ${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$.
• $F(x)$ неубывающая функция, то есть при увеличении $x$ её значение не убывает.
• Если $X$ — непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности (PDF) $f(x)$, то:

• Для дискретной случайной величины $X$ с функцией вероятности $p(x)$:

📌 Примеры:

• Бросок кубика: вероятность того, что выпавшее число будет меньше или равно 4 равна $F(4)=P(X\le 4)=\frac{4}{6}=0.67$.
• Нормальное распределение: CDF показывает, какая доля значений находится левее точки $x$. Например, для стандартного нормального распределения вероятность того, что $X\le 0$, равна $0.5$.

⚖️ Применение:

• В статистике — для нахождения вероятностей и квантилей распределений.
• В машинном обучении — при генерации случайных величин методом обратного преобразования (Inverse Transform Sampling).
• В тестах значимости — для вычисления p-значений.
• В теории информации — для построения моделей вероятностных процессов.

💡 Вывод:

Функция распределения (CDF) — это фундаментальное понятие теории вероятностей, позволяющее описывать накопленную вероятность случайной величины. Она связывает дискретные и непрерывные распределения, играет ключевую роль в вычислении вероятностей, квантилей и интерпретации статистических моделей.